Finanza aziendale e innovazione

X RISOLVERE IL PROBLEMA UTILIZZIAMO IL METODO DEL MODELLO BLACK SCHOLES

Il valore di un’opzione call secondo il modello Black-Scholes è dato da:

Per calcolare d1 e d2, usiamo le seguenti formule:

Calcolo di d1:

Prima calcoliamo il termine nel numeratore:

Sommiamo i due termini:

Calcolo di d2:

Calcolo dei valori N(d1) e N(d2): usare la tabella della

distribuzione normale o calcolare

approssimativamente i valori di

N(d1)N(d_1)N(d1) e

N(d2)N(d_2)N(d2) utilizzando una

calcolatrice online o una tabella.

Calcolo del valore dell’opzione (call):

-13,19 + 53,16 = 39,97 (VA complessivo)

Alcune considerazioni:

Il progetto iniziale non è un’opzione e può avere VAN<0.

L’investimento nel progetto iniziale consente l’opportunità di effettuare il secondo investimento.

Tale secondo investimento rappresenta il potenziale di investimento

Domande da porsi per capire se l’opzione di ampliamento genera valore:

1. Il progetto iniziale è un pre-requisito al progetto di ampliamento? (ricerca e sviluppo)

2. L’impresa ha un diritto di esclusiva sul secondo progetto? Oppure il secondo

progetto fornisce un vantaggio competitivo?

Intraprendo un progetto iniziale con VAN<0 se penso che crei l’opportunità di sfondare in nuovi

mercati o su nuovi segmenti.

Ne segue che l’opzione di ampliamento avrà maggior valore per settori più volatili e con maggior

rendimento.

3. Le motivazioni di carattere strategico sono opzioni reali?

Le opzioni reali assegnano un valore solo ad alcune motivazioni strategiche. In particolare

motivazioni strategiche generiche e solo qualitative “immagine aziendale o potenziale di crescita”

non sono valorizzate con le opzioni.

Esempio 2 (opzioni di espansione):

L’azienda alfa sta valutando se investire 1.000 per introdurre un certo prodotto in Brasile.

Dall’analisi effettuata si sa che il valore attuale di tale investimento sarà 950. Se il mercato

brasiliano dovesse diventare più redditizio si potrebbe introdurre il prodotto in tutta l’America Latina

con un investimento aggiuntivo di 300 fra 5 anni. La stima del valore attuale atteso (ad oggi) dei

flussi di cassa del progetto America Latina è di 280. L’incertezza del progetto America Latina porta

la volatilità al 40%. Il tasso risk free è del 3%. Intraprendo il progetto oppure no?

Questa è la formula utilizzata, sostituire gli importi

nella tabella di sinistra e risolvere questa formula

troveremo il valore della call.

Esercizio 3 (opzioni di espansione):

Si consideri un’opportunità di investimento oggi che costa 10 mln. Tra 1 anno si scoprirà se il

progetto, che comporta l’introduzione di un nuovo prodotto nel mercato delle macchine da ufficio,

avrà successo. Esiste una probabilità del 50% che il progetto dia un flusso perpetuo di cassa pari a

1 mln a partire dall’anno 1 e il 50% di probabilità che il flusso sia 0. Il WACC è il 6% mentre il tasso

risk free è del 2%. In t=1, il management ha la possibilità di duplicare la dimensione del progetto

alle stesse condizioni di quello originario. In t=1, in tal caso, si dovrebbe sostenere un investimento

aggiuntivo di 10 mln. Determinare la convenienza all’investimento.

Come già indicato, il progetto ha una probabilità del 50% di generare un flusso perpetuo di cassa

di 1 milione di euro all’anno, e una probabilità del 50% di generare 0.

Calcolo del VA del progetto senza opzione di espansione:

Il VAN (Valore Attuale Netto) senza opzione di espansione si ottiene sottraendo l’investimento

iniziale (10 milioni) dal valore attuale calcolato:

Introduzione dell’opzione di espansione:

A t = 1, il management ha la possibilità di raddoppiare la dimensione del progetto per 10 milioni,

quindi si deve calcolare il valore di questa opzione.

Calcolo del valore dell’opzione di espansione (call option):

In t=1, il flusso di cassa potrebbe essere:

 Flusso di cassa di 1 milione con probabilità 50%

 Flusso di cassa di 0 con probabilità 50%

Se il progetto ha successo, in t=1, il management ha l’opzione di espandere l’investimento di altri

10 milioni. La nuova dimensione del progetto avrà un valore attuale di 16.666.667 euro (come

indicato nel testo).

Il valore dell’opzione di espansione dipende dal valore dell’espansione in caso di successo, che

viene calcolato utilizzando la probabilità neutrale al rischio. La formula per la probabilità neutrale al

rischio p è:

Quindi, le probabilità neutre al rischio sono:

 Probabilità di successo (flusso di cassa pari a 1 milione) = 48,11%

 Probabilità di fallimento (flusso di cassa pari a 0) = 51,89%

Calcolo del valore dell’opzione di espansione in t=1:

Il valore dell’opzione in t=1 è dato dalla probabilità neutrale al rischio di ottenere il flusso di cassa

(1 milione) e dall’ammontare che il progetto potrebbe generare in caso di espansione:

Calcolo del valore dell’opzione di espansione in t=0:

Ora, dobbiamo portare il valore dell’opzione di espansione calcolato in t=1 al valore presente (t=0)

utilizzando il tasso risk-free (2%):

VAN esteso:

Esercizio 4 (opzioni di espansione):

Si consideri un’opportunità di investimento oggi che costa 1 mln. Tra 1 anno si scoprirà se il

progetto, che comporta l’introduzione di un nuovo prodotto nel mercato, avrà successo. Esiste una

probabilità del 50% che il progetto dia un flusso perpetuo di cassa pari a 130.000 euro a partire

dall’anno 1 e il 50% di probabilità che il flusso sia 10.000 euro.

Il wacc è il 10% mentre il tasso risk-free è del 2%.

In t=1, il management ha la possibilità di duplicare la dimensione del progetto investendo 900.000

euro anziché 1.000.000 euro. I flussi di cassa previsti per il progetto di raddoppio sono gli stessi di

quello originario ma si ritiene che l’attesa possa migliorare la valutazione probabilistica per cui lo

scenario con 130.000 euro è dato con probabilità al 70%. Determinare la convenienza

all’investimento.

Tipologia di opzioni reali – opzione di abbandono

Un’opzione di questo tipo consente di abbandonare un investimento (magari destinando il denaro

corrispondente ad usi alternativi ) in una data futura prefissata T nel caso in cui i flussi di cassa

siano inferiori alle aspettative.

L’abbandono dell’investimento ha come controparte un “valore di recupero” (ad esempio il valore

realizzabile cedendo ad altri quanto realizzato nell’investimento fino al tempo T) che cerca di

sopperire alla perdita dei flussi di cassa derivante dall’abbandono.

Al tempo T quindi, il decisore può decidere o di non esercitare l’opzione (e quindi continuare a

gestire l’investimento perché questo è in grado di produrre valore pari o superiore a quanto stimato

inizialmente) o di esercitare l’opzione , ottenendo in cambio il valore di recupero, nel caso in cui il

valore dell’investimento, dopo un certo intervallo di tempo, risulti inferiore alle aspettative.

Un’opzione di questo tipo consente al decisore di limitare le perdite nel caso in cui le condizioni di

mercato non dovessero presentarsi sufficientemente favorevoli, in quanto il valore minimo che si

potrebbe ottenere da un determinato investimento sarebbe rappresentato dal valore di recupero.

A volte, si intraprendono progetti e successivamente è possibile pensare ad un loro

ridimensionamento oppure ad un loro abbandono, qualora si verifichino situazioni di mercato

negative. Anche questa flessibilità deve essere valorizzata. Come?

Attraverso un’opzione put

In particolare, sia:

Va il valore del progetto qualora fosse portato avanti;



L il valore di liquidazione del progetto stesso se interrotto

 L’opzione di abbandono del progetto conviene quando: Va < L

Esercizio (opzione reale di abbandono):

Nell’anno 0, la società Beta vuole utilizzare una certa tecnologia dal costo di 550 . Nell’anno 1, il

valore attuale dei flussi di cassa attesi è stimato pari a 850 con probabilità 60% e 400 con

probabilità del 40%. Nell’ipotesi di uno scenario pessimistico, tuttavia, la società Beta può vendere

l’impianto ricavando 440. Il tasso risk free sia 3% e il wacc il 10%.

Determinare se è conveniente o meno attuare il progetto.

In t=1, nel primo scenario, il VA1 è 850;

In t=1, nel secondo scenario, il VA2 è 400;

In t=1 il valore di liquidazione L è 440.

Se NON considero il valore di liquidazione il VAN del progetto sarà:

Se considero il valore di liquidazione il VAN del progetto sarà:

Confronto L con VA1; non mi conviene esercitare l’opzione perché 850 > 440

Confronto L con VA2; mi conviene abbandonare il progetto prendendo in t=1 440 invece che 400

Sulla base di questo ragionamento calcolo il VAN al tempo t=0:

IL V. COMPLESSIVO VAN SENZA OPZIONE DI ABBANDONO + VALORE PUT OPTION



Sì, il progetto è conveniente. Anche se il VAN senza l’opzione di abbandono è positivo, quando

si considera l’opzione di abbandono, il progetto diventa ancora più conveniente, con un valore

complessivo di 78,21.

Esercizio 2 (opzione di abbandono):

Nell’anno 0, la società Beta vuole utilizzare una certa tecnologia del costo di 560. Nell’anno 1, il

valore attuale dei flussi di cassa attesi è stimato pari a 738 con probabilità 60% e 415 con

probabilità del 40%. Nell’ipotesi di uno scenario pessimistico, tuttavia, la società Beta può vendere

l’impianto ricavando 500. Il tasso risk free sia 5% e il wacc il 10%.

Determinare se è conveniente o meno attuare il progetto.

Determinazione del valore della put option (opzione di abbandono): SP=500

PASSO 1: – Il termine 0,3334⋅p rappresenta il contributo alla put option proveniente dallo

scenario ottimistico.

– Il termine −0,2502⋅(1−p) rappresenta il contributo allo scenario pessimistico.

PASSO 2:

Moltiplico il termine -0,2502 con gli elementi dentro la parentesi. (guarda sopra)

PASSO 3: unisco i termine con la P

PASSO 4:

Ora, per trovare il valore di p, dobbiamo dividere entrambi i membri dell’equazione per 0,5836:

Quindi, la probabilità p di realizzarsi lo scenario ottimistico è circa 51,43%.

Trovato questo posso calcolare il valore della opzione put

– La put option vale 0 se si verifica lo scenario ottimistico (probabilità p=51,43%)

– La put option vale 85 (ossia l’importo che si ricava dalla vendita dell’impianto,

ovvero 500) se si verifica lo scenario pessimistico (probabilità 1−p =48,57%)

Inoltre, dob